3d带连线走势图:怎么樣解三次方程 應該怎么做?

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責任編輯:魯能
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三次方程的最高次數為3次,它有3個解,或者說3個根,方程本身的形式是ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。雖然三次方程令人望而生畏,并且確實很難解,但在具備大量基礎知識的前提下,使用正確的方法,那么即使是最棘手的三次方程問題也可以得到解決。三次方程的解法有很多種,你可以嘗試使用二次公式、求整數解或確定判別式方法。

1解不含常數項的三次方程

以Solve a Cubic Equation Step 1為標題的圖片

1檢查三次方程,看是否包含常數項d{\displaystyle d}。三次方程的形式為ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}。但是,唯一必要的關鍵項是x3{\displaystyle x^{3}},這意味著三次方程中未必會出現其他項。[1]

如果方程中包含常數項d{\displaystyle d},那么你必須使用另一種解法。

如果a=0{\displaystyle a=0},那么這個方程就不是三次方程。[2]

以Solve a Cubic Equation Step 2為標題的圖片

2提取方程的公因式x{\displaystyle x}。由于方程沒有常數項,所以其中各項都包含變量x{\displaystyle x}。也就是說,可以提取方程的公因式x{\displaystyle x}來簡化方程。這樣做之后,可以將方程重寫為x(ax2+bx+c){\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}。[3]

例如,假設我們一開始要解的方程是3x3?2x2+14x=0{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}。

提取方程的公因式x{\displaystyle x},得到x(3x2?2x+14)=0{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}。

以Solve a Cubic Equation Step 3為標題的圖片

3如果可能,將得到的二次方程因式分解。很多情況下,提取公因式x{\displaystyle x}后得到的二次方程ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}都能被因式分解。例如,如果要解x3+5x2?14x=0{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0},你可以:[4]

提取公因式x{\displaystyle x}x(x2+5x?14)=0{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}

將括號內的二次方程因式分解:x(x+7)(x?2)=0{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}

設各因式等于0{\displaystyle 0}。得到方程的解x=0,x=?7,x=2{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}。

以Solve a Cubic Equation Step 4為標題的圖片

4如果無法手動對括號內的部分進行因式分解,請使用二次公式求解。你可以將a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}的值代入二次公式(?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}})中,算出使二次方程等于0的x值。使用這種方法可以求出三次方程的兩個解。[5]

示例中,將a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}的值3{\displaystyle 3}、?2{\displaystyle -2}14{\displaystyle 14}分別代入到以下二次公式:?b±b2?4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}?(?2)±((?2)2?4(3)(14)2(3){\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}2±4?(12)(14)6{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}2±(4?1686{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}}2±?1646{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}

解1:2+?1646{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}}2+12.8i6{\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}

解2:2?12.8i6{\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

以Solve a Cubic Equation Step 5為標題的圖片

5零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有兩個解,而三次方程有三個。你已經求出其中的兩個解,即你為括號中“二次”部分求出的解。對于可以用“因式分解”方法求解的方程,第三個解一定為0{\displaystyle 0}。[6]

將方程分解為包含兩個因式的形式x(ax2+bx+c)=0{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0},左邊的因式是變量x{\displaystyle x},右邊的因式是括號內的二次方程。如果任一因式等于0{\displaystyle 0},則整個方程等于0{\displaystyle 0}。

因此,使括號內的二次因式等于0{\displaystyle 0}的兩個解是三次方程的解,而使左邊因式等于0{\displaystyle 0}0{\displaystyle 0}本身,也是三次方程的解。

2使用因數表求整數解

以Solve a Cubic Equation Step 6為標題的圖片

1確保三次方程有一個d{\displaystyle d}值不等于零的常數項。如果形式為ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}的方程擁有一個不等于零的d{\displaystyle d}值,就無法將它因式分解為二次方程。但是不用擔心,你還可以使用其他方法,比如下文描述的方法。[7]

以方程2x3+9x2+13x=?6{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}為例。這個方程中,要讓等號的右邊等于0{\displaystyle 0},你需要兩邊都加6{\displaystyle 6}。

得到新的方程2x3+9x2+13x+6=0{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}。由于d=6{\displaystyle d=6},你無法使用二次方程方法。

以Solve a Cubic Equation Step 7為標題的圖片

2找出a{\displaystyle a}d{\displaystyle d}的因數。要解三次方程,我們需要先關注x3{\displaystyle x^{3}}項的系數a{\displaystyle a}以及方程最后的常數項d{\displaystyle d},找出它們各自的因數。記住,如果兩個數字相乘得到另一個數,那么這兩個數就是乘積的因數。[8]

例如,由于你可以用6×1{\displaystyle 6\times 1}2×3{\displaystyle 2\times 3}得到6,所以1、2、3、66的因數。

例題中,a=2{\displaystyle a=2},而d=6{\displaystyle d=6}。2的因數是12。6的因數是1、2、3、6。

以Solve a Cubic Equation Step 8為標題的圖片

3a{\displaystyle a}的因數除以d{\displaystyle d}的因數。a{\displaystyle a}的各因數除以d{\displaystyle d}的各因數所得的值羅列出來。這樣做通?;岬玫叫磯嚳質圖父穌?。三次方程的整數解要么是其中的一個整數,要么是其中一個整數的相反數。[9]

例題中,用a{\displaystyle a}的因數12除以d{\displaystyle d}的因數1、2、3、6,得到:1{\displaystyle 1},12{\displaystyle {\frac {1}{2}}},13{\displaystyle {\frac {1}{3}}},16{\displaystyle {\frac {1}{6}}},2{\displaystyle 2}23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}。然后,我們將各數字的相反數加入進去,使之更加完整:1{\displaystyle 1},?1{\displaystyle -1},12{\displaystyle {\frac {1}{2}}},?12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}},13{\displaystyle {\frac {1}{3}}},?13{\displaystyle -{\frac {1}{3}}},16{\displaystyle {\frac {1}{6}}},?16{\displaystyle -{\frac {1}{6}}},2{\displaystyle 2},?2{\displaystyle -2},23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}?23{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}。三次方程的整數解就在其中。

以Solve a Cubic Equation Step 9為標題的圖片

4手動代入整數,這種方法較為簡單,但可能會耗費較長時間。得到相除的結果后,你可以迅速將整數手動代入,看哪些能讓三次方程等于0{\displaystyle 0},進而求出方程的解。例如,如果將1{\displaystyle 1}代入方程,可以得到:[10]

2(1)3+9(1)2+13(1)+6{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6},即2+9+13+6{\displaystyle 2+9+13+6},結果不等于0{\displaystyle 0}。因此,使用得到的下一個值。

如果將?1{\displaystyle -1}代入方程,得到(?2)+9+(?13)+6{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6},結果等于0{\displaystyle 0}。這意味著?1{\displaystyle -1}是方程的一個整數解。

以Solve a Cubic Equation Step 10為標題的圖片

5使用更復雜,但可能更快速的綜合除法。如果你不想花時間一個一個地去代入所有值,可以嘗試更快捷的方法,也就是所謂的綜合除法。總的來說,你應該使用綜合除法,用得到的整數值除以a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}。如果得到余數0{\displaystyle 0},那么這個值就是三次方程的解。[11]

綜合除法是一個復雜的主題,超出了本文論述的范圍。以下的例子示范了如何用綜合除法求三次方程的解:-1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0

由于得到的最終余數為0{\displaystyle 0},由此可知,?1{\displaystyle -1}是三次方程的一個整數解。

3使用判別式方法

以Solve a Cubic Equation Step 11為標題的圖片

1寫下a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}的值。本方法會大量用到方程各項的系數??記?,記下a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}、c{\displaystyle c}d{\displaystyle d}的值,這樣之后就不會混淆。[12]

對于例題x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1},寫下a=1{\displaystyle a=1}、b=?3{\displaystyle b=-3}、c=3{\displaystyle c=3}d=?1{\displaystyle d=-1}。注意,如果有x{\displaystyle x}變量前沒有系數,這代表它的系數為1{\displaystyle 1}。

以Solve a Cubic Equation Step 12為標題的圖片

2使用正確的公式計算判別式零。用判別式方法求三次方程的解會用到十分復雜的數學原理,但如果嚴格遵循方法流程,你會發現,它在解令其他方法束手無策的三次方程方面十分實用。首先,將適當的值代入到公式Δ0=b2?3ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}中,求出第一個重要數值,即判別式零Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}。[13]

判別式是一個數字,可以為我們提供關于多項式根的信息。你可能已經知道二次判別式是(b2?4ac{\displaystyle b^{2}-4ac})。

例題中的計算過程如下:b2?3ac{\displaystyle b^{2}-3ac}(?3)2?3(1)(3){\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}9?3(1)(3){\displaystyle 9-3(1)(3)}9?9=0=Δ0{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}}

以Solve a Cubic Equation Step 13為標題的圖片

3然后,計算Δ1=2b3?9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}。你需要的下一個重要數值是判別式1{\displaystyle 1},即Δ1{\displaystyle \Delta _{1}},它的計算過程會稍微復雜一點,但方法與Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}基本相同。將適當的值代入到公式2b3?9abc+27a2d{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}中,得到Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}的值。[14]

例題中的計算過程如下:2(?3)3?9(1)(?3)(3)+27(1)2(?1){\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}2(?27)?9(?9)+27(?1){\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}?54+81?27{\displaystyle -54+81-27}81?81=0=Δ1{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}

以Solve a Cubic Equation Step 14為標題的圖片

4計算: Δ=(Δ12?4Δ03)÷?27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}。然后,我們會使用Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}的值計算三次方程的判別式。在三次方程中,如果判別式為正數,則方程有三個實數解。如果判別式等于零,則方程有一個或兩個實數解,且有時兩個實數解會相等。如果判別式為負數,則方程只有一個實數解。[15]

三次方程必定有至少一個實數解,因為其函數圖形必定會與X軸相交至少一次。

例題中,由于Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}都等于0{\displaystyle 0},所以Δ{\displaystyle \Delta }的計算相對簡單。計算過程如下:(Δ12?4Δ03)÷(?27a2){\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}((0)2?4(0)3)÷(?27(1)2){\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}0?0÷27{\displaystyle 0-0\div 27}0=Δ{\displaystyle 0=\Delta },所以方程有一個或兩個解。

以Solve a Cubic Equation Step 15為標題的圖片

5計算: C=3(Δ12?4Δ03+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}。最后一個需要計算的重要數值是C{\displaystyle C}。它能幫助我們在最后求出三個根。按照正常計算過程,根據需要代入 Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}。

例題中,C{\displaystyle C}的計算過程如下:3(Δ12?4Δ03)+Δ1÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}3(02?4(0)3)+(0)÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}3(0?0)+0÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}0=C{\displaystyle 0=C}

以Solve a Cubic Equation Step 16為標題的圖片

6使用變量計算三個根。三次方程的根或解可以使用公式?(b+unC+Δ0÷(unC))÷3a{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}計算,其中u=(?1+?3)÷2{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2},而n等于1、23。根據需要代入數值進行計算,其中涉及到大量的數學運算,但你應該可以得到三個使方程成立的解。

你可以分別計算n等于1、2、3時公式的值,來求得例題的答案。這樣得到的答案可能就是三次方程的解。你可以將答案代入到方程中,使之等于0的答案即為方程的正確解。

例如,將1代入到x3?3x2+3x?1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}中,計算結果為0,所以1就是三次方程的一個解。

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