走势图双色球:怎么樣手算立方根 應該怎么做?

來源:互聯網
責任編輯:魯能
 綜合 
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探索這篇文章解立方根例題反復估算來求立方根了解這種計算的原理相關文章參考

有計算器在手,計算任何數字的立方根可能只需要按幾個按鈕就可以了。但是,如果身邊沒有計算器,或者你想向朋友展示一下自己手算立方根的能力,這時就不能依賴計算器了。手算立方根的過程一開始看起來有點費力,但多加練習后,你會覺得它簡便可行。記得一些基本的數學技巧和關于立方數的代數內容,對學習本文介紹的方法會很有幫助。

部分 1解立方根例題

以Calculate Cube Root by Hand Step 1為標題的圖片

1列出問題算式。計算一個數字的立方根就像算一道長除法問題,但會有一些特殊的區別。第一步是以正確的形式列出問題算式。[1]

寫下你要計算立方根的數字。從小數點開始,三位數為一組。在本例題中,你要計算10的立方根。將10寫成10.000 000。額外的0是為了保證解的精確度。

在數字上畫一個立方根根號。它的作用和長除法的橫線相同。唯一不同的地方是符號的形狀。

在橫線上點一個小數點,它應該位于初始數字小數點的正上方位置。

以Calculate Cube Root by Hand Step 2為標題的圖片

2知道個位數的立方值。計算中你會用到這些數字。個位數的立方值如下:

13=1?1?1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1}

23=2?2?2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8}

33=3?3?3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27}

43=4?4?4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64}

53=5?5?5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125}

63=6?6?6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216}

73=7?7?7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343}

83=8?8?8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512}

93=9?9?9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729}

103=10?10?10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000}

以Calculate Cube Root by Hand Step 3為標題的圖片

3算出解的第一位數。選擇一個數字,該數字的立方值應該在小于第一組三位數的前提下與之最為接近。[2]

在本例題中,第一組的三位數是10。找到小于10而又最接近10的整數立方值。該立方值為8,它的立方根是2。

在根號橫線上、數字10的上方寫下數字2。在數字10的下方寫下23{\displaystyle 2^{3}}的值,也就是8,畫一條橫線,用10減去8,就做長除法一樣。結果等于2。

相減后,你就得到了解的第一位數字。你需要判斷一下,這個第一位數字是否是足夠精確的結果。大部分情況下,它都不夠精確。要進行判斷,你可以計算該個位數的立方值,看它是否足夠接近你想要的結果。本題中,由于23{\displaystyle 2^{3}}等于8,還不太接近10,所以你應該繼續計算。

以Calculate Cube Root by Hand Step 4為標題的圖片

4列式計算下一位數。將下一組三位數抄到余數后,在所得數字的左邊畫一條垂直的短線。它將是用來計算立方根下一位數的基數。本例題中,這個數字是2000,由之前減法所得的余數2和抄下的三個一組的0組成。[3]

在垂直線段的左邊算出下一個除數,這個除數是三個單獨數字的和?;醣舜酥浯屑雍諾目障祿?,為這些數字留出空格。

以Calculate Cube Root by Hand Step 5為標題的圖片

5算出下一個除數的開始部分。要計算這個除數的第一部分,寫下300乘以根號上數字的平方。本例題中,根號上的數字是2,2^2等于4,而4*300=1200。所以,在第一個空格寫1200。這一步的除數等于1200加上你之后會算出的某個數。[4]

以Calculate Cube Root by Hand Step 6為標題的圖片

6算出立方根的下一位數字。選擇一個數字乘以大概的除數1200,使之能夠被余數2000減去,這個數就是解的下一位數字。這個數字只能是1,因為2乘以1200等于2400,大于2000。在根號上的下一個空格寫下數字1。[5]

以Calculate Cube Root by Hand Step 7為標題的圖片

7確定除數的剩余部分。此步驟的除數由三部分組成。第一部分是你已經算出的1200。你還需要兩個數字來得到完整的除數。[6]

現在,用3乘以10乘以根號上解得的那兩位數字。在本例題中,也就是用3*10*2*1,等于60。用60加上已經得到的1200,等于1260。

最后,加上最后一位數的平方。本例題中,最后一位數是1,而1^2仍然為1。所以,完整的除數等于1200+60+1,即1261。在垂直線段的左邊寫下這個數字。

以Calculate Cube Root by Hand Step 8為標題的圖片

8先乘再減。要完成這一步計算,你需要用解的最后一位數乘以剛剛算出的除數,在本例題中,也就是用1乘以1261。1*1261 =1261。在2000的下方寫下這個數字,然后做減法,得到739。

以Calculate Cube Root by Hand Step 9為標題的圖片

9判斷是否需要繼續計算,以獲得更精確的結果。完成每一步的減法部分后,你需要考慮自己的解是否足夠精確。第一步減法后算出的解是2,對于10的立方根而言,不是很精確。現在,第二步算出的解是2.1。[7]

你可以計算2.1*2.1*2.1,來檢查解的精確度。結果等于9.261。

如果覺得解已經足夠精確,你可以就此停止。如果還想得到更精確的解,那么你必須繼續下一步的計算。

以Calculate Cube Root by Hand Step 10為標題的圖片

10算出下一步的除數。本例題中,為了得到更多練習和更精確的解,請重復如下步驟,做下一步計算:[8]

將下一組的三位數拉下來。本題中,這組數是三個0,放到余數739后面,得到739,000。

要計算除數,先用300乘以當前根號上數字的平方。即300?212{\displaystyle 300*21^{2}},等于132,300。

選擇解的下一位數,使之乘以132,300后小于余數739,000。這個數字應該是5,因為5*132,300=661,500。將5寫到根號上的下一個空格處。

用3乘以之前根號上的數字21,乘以你剛剛寫下的數字5,再乘以10,得到3?21?5?10=3,150{\displaystyle 3*21*5*10=3,150}。

最后,計算最后一位數的平方值。52=25{\displaystyle 5^{2}=25}。

將除數的各部分相加,得到132,300+3,150+25=135,475。

以Calculate Cube Root by Hand Step 11為標題的圖片

11用除數乘以解的最后一位數字。完成這一步計算并使解增加一位數后,按以下步驟繼續進行:

用除數乘以解的最后一位數。135475*5=677,375。

做減法。739,000-677,375=61,625。

考慮解2.15是否足夠精確。計算2.15的立方,2.15?2.15?2.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94}。

以Calculate Cube Root by Hand Step 12為標題的圖片

12寫下你的最終答案。根號上的結果就是立方根,此時已經得到了較為準確的三位數。在本例題中,10的立方根等于2.15。要進行驗證,可以計算2.15^3,結果得到9.94,非常接近10。如果你需要更精確的答案,可以繼續計算下去,直至滿意為止。

部分 2反復估算來求立方根

以Calculate Cube Root by Hand Step 13為標題的圖片

1使用立方數來確定上限和下限。如果題目要求你計算任意數字的立方根,首先選擇一個盡可能接近,但不超過目標數字的完全立方數。

例如,如果要計算600的立方根,回想一下,或查詢立方表,你會發現83=512{\displaystyle 8^{3}=512},而93=729{\displaystyle 9^{3}=729}。因此,600的立方根必定是8和9之間的某個數。你可以用512和729來限制解的大小范圍。

以Calculate Cube Root by Hand Step 14為標題的圖片

2估算下一位數。使用特定的立方數知識可以得到首位數。要算出下一位數,你可以根據目標數在兩個界限數之間的位置來估算一個0到9之間的數字。

例題中,600大約位于界限數512和729之間的中間位置。因此,選擇5作為下一位數。

以Calculate Cube Root by Hand Step 15為標題的圖片

3計算立方值來驗證自己的估算。將剛剛估算出的數字連乘三次,看與目標數字有多接近。

本例題中,8.5?8.5?8.5=614.1{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1}。

以Calculate Cube Root by Hand Step 16為標題的圖片

4根據需要調整估算值。算出之前估算值的立方后,用結果對比目標值,來進行檢查。如果結果大于目標值,你需要稍微下調估算值。如果結果小于目標值,你可能需要上調估算值,直至它超過目標值。

例如,本題中8.53{\displaystyle 8.5^{3}}大于目標值600。因此,你應該將估算值下調至8.4。計算8.4的立方,與目標值進行比較。8.4?8.4?8.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7}。結果小于目標值。因此,你知道600的立方根必定大于8.4,而小于8.5。

以Calculate Cube Root by Hand Step 17為標題的圖片

5估算下一位數,求得更精確的答案。你可以繼續從0到9中進行選擇,估算下一位數,直至答案達到你的精確度要求。每次估算時,先根據目標數在最新算出的界限數之間的位置來進行估算。

本例題中,根據之前的計算可知,8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7},而8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}。相比614,目標數600更接近592一點。因此下一次估算時,可以先選擇0到9之間稍微小于中間數的數值。合理的猜測是4,所以估算的立方根是8.44。

以Calculate Cube Root by Hand Step 18為標題的圖片

6繼續檢驗自己的估算并做出調整。你可以根據需要多次估算,然后計算估算值的立方,并與目標數進行比較。你會找到一個略微大于目標數的數字,以及一個略微小于目標數的數字。

本例題中,先計算8.44?8.44?8.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2}。它略高于目標數,所以將8.44降到8.43,再進行檢驗。而8.43?8.43?8.43=599.07{\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07}。因此,你知道600的立方根大于8.43,而小于8.44。

以Calculate Cube Root by Hand Step 19為標題的圖片

7繼續估算,直至達到你想要的精確度。根據需要,繼續估算、比較和再次估算,重復這些步驟,直至解的精確度達到你的要求。注意,每多一位小數,目標數字就更接近實際數字。

以600的立方根為例,使用兩位小數時,解為8.43,其真實立方值距離目標數的偏差小于1。如果繼續算出三位小數的解,你會發現8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93},偏差已不足0.1。

部分 3了解這種計算的原理

以Calculate Cube Root by Hand Step 20為標題的圖片

1回顧二項展開式。要理解這種算法為什么能算出立方根,首先需要回想一下二項式的立方展開是什么樣子的。你可能在高中代數中學過這部分內容,但很可能像大多數人那樣,已經忘得一干二凈了。選擇兩個變量A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}來代表個位數。然后創造一個二項式(10A+B){\displaystyle (10A+B)}來代表兩位數。[9]

使用10A{\displaystyle 10A}項來創造一個兩位數。無論為A{\displaystyle A}選擇哪個個位數,10A{\displaystyle 10A}都會讓這個個位數占據兩位數的十位。例如,如果A{\displaystyle A}等于2,B{\displaystyle B}等于6,則(10A+B){\displaystyle (10A+B)}等于26。[10]

以Calculate Cube Root by Hand Step 21為標題的圖片

2展開二項式的三次方。這里我們在倒推算法,先計算立方,然后再研究算法能夠求出立方根的原理。我們需要先算出(10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}的值。將二項式連乘三次,即(10A+B)?(10A+B)?(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}。由于計算過程太長,不在此處羅列,最終結果等于1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}。[11]

關于展開二項式,算出此結果的詳細過程,請參考二項式相乘的相關知識。更高級、更便捷的算法,可以參考使用楊輝三角形計算(x+y)^n的相關內容。

以Calculate Cube Root by Hand Step 22為標題的圖片

3認識長除算法的含義。你應該注意到了,立方根的計算過程很像長除法。在長除法中,你會得到兩個因式,它們相乘后等于初始數字。而在本文描述的計算中,你要求得的數字是立方根,也就是根號上最終得到的數字。這意味著它代表了(10A+B)項。A和B的具體值無關緊要,重要的是認識到它們與答案之間的關系。[12]

以Calculate Cube Root by Hand Step 23為標題的圖片

4回顧展開的版本。仔細看展開后的多項式,你會發現立方根算法的作用原理。算法每一步的除數是你需要計算并加總的四項之和。這些項具體如下:[13]

第一項包含1000這個系數。首先,你要為第一位數選擇一個數字,使它的立方在長除法的范圍以內。這個數字使二項展開式中的1000A^3項變成已知項。

二項展開式的第二項的系數等于300。300實際上是通過3?102{\displaystyle 3*10^{2}}計算而得?;匾湟幌鋁⒎礁募撲愎?,每一步的第一位數都要乘以300。

立方根計算的每一步中,第二位數字都來自二項展開式的第三項。在二項展開式中,第三項是30AB^2。

每一步的最后一位數來自B^3項。

以Calculate Cube Root by Hand Step 24為標題的圖片

5看著精確度不斷上升。使用長除算法時,你完成的每一步都會讓答案更加精確。例如,本文例題要求算出10的立方根。在第一步中,解是2,因為23{\displaystyle 2^{3}}接近10而小于10。但實際上23=8{\displaystyle 2^{3}=8}。經過第二輪計算后,你得到的解是2.1。算到這一步,2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261},更加接近目標值10。而在第三輪計算后,得到2.15,2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}。你可以根據自己的需要,繼續以三位數為一組,計算更加精確的答案。[14]

小提示

手算立方根和所有其他數學知識一樣,熟能生巧。練習可以提高計算的速度和準確性。

警告

計算時很容易出錯。因此做題時一定要認真仔細,做完后也要仔細檢查。

你需要準備

鋼筆或鉛筆

直尺

橡皮擦

參考

↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html

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