福彩双色球走势:怎么樣對二項式進行因式分解 應該怎么做?

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在本文中:對二項式進行因式分解分解二項式來解方程處理更復雜的問題

在代數中,二項式是以加號或減號相連的二項表達式,例如ax+b{\displaystyle ax+b}。第一項必定包含一個變量,而第二項則不一定。對二項式做因式分解指的是將二項式分解成更簡單的項,這些項相乘后可以得到該二項式,因式分解可以簡化二項式,為進一步使用做好準備。

部分 1對二項式進行因式分解

以Factor Binomials Step 1為標題的圖片

1回顧因數分解的基礎知識。因數分解是將一個大數分解成幾個最簡單的可除部分。每個部分被稱為“因數”。例如,數字6可以被分解為四個不同的數字:1、2、3和6。因此,6的因數有1、2、3、6。

32的因數有1、2、4、8、16、32。

數字“1”和你分解的數字本身必定是因數。因此,像3這樣的小數字的因數只有1和3。

因數只包括可以整除的數字,即“整數”。你可以用3.564或21.4952去除32,但它們不構成32的因數,僅僅是一個小數。

以Factor Binomials Step 2為標題的圖片

2將二項式的各項放到合適位置,使之便于一目了然。二項式是兩個數字在做加法或減法,其中至少一個數字含有一個變量。有時,變量會有指數,如x2{\displaystyle x^{2}}5y4{\displaystyle 5y^{4}}。分解二項式時,你可以先按變量升序來重新排列方程式,即將指數最大的項放到最后。例如:

3t+6{\displaystyle 3t+6}6+3t{\displaystyle 6+3t}

3x4+9x2{\displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}9x2+3x4{\displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}

x2?2{\displaystyle x^{2}-2}?2+x2{\displaystyle -2+x^{2}}

注意,2前面的負號在重新排序后得到了保留。如果項是減數,重新排序時請保留前面的負號。

以Factor Binomials Step 3為標題的圖片

3找到兩項的最大公因數。這意味著你要找到能同時整除二項式兩項的最大數字。如果覺得很難,只要分別將兩個數字因數分解,然后找到最大的匹配數字即可。例如:

練習題:3t+6{\displaystyle 3t+6}。

3的因數:1,3

6的因數:1, 2, 3, 6。

最大公因數為3。

以Factor Binomials Step 4為標題的圖片

4兩項分別除以最大公因數。知道公因數后,你需要將它從各項中約去。但是請注意,你要做的只是將各項分解,對它們做簡單的除法。如果你找到的最大公因數是正確的,那么兩項都會有這個因數:

練習題:3t+6{\displaystyle 3t+6}。

求最大公因數:3

從兩項中約去因數:3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}

以Factor Binomials Step 5為標題的圖片

5最后,用因數乘以所得表達式。在上一道練習題中,你約去3之后,得到t+2{\displaystyle t+2}。但是,約去3只是為了簡化問題,并不是說問題與3不再有任何關系。你不能讓一個數字憑空消失,它必須重新出現在表達式中!最后,用因數乘以表達式。例如:

練習題:3t+6{\displaystyle 3t+6}

求最大公因數:3

從兩項中約去因數:3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}

用因數乘以新表達式:3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}

因式分解后的最終答案:3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}

以Factor Binomials Step 6為標題的圖片

6用因數乘以括號內的各項,看結果是否等于初始方程式。如果每一步都正確,那么檢查結果是否正確就很簡單了。用因數乘以括號內的各項即可。如果所得結果與初始的未分解二項式一樣,說明因式分解是正確的。寫下分解表達式12t+18{\displaystyle 12t+18}的全過程,來練習因式分解:

重新排列兩項的順序:18+12t{\displaystyle 18+12t}

找出最大公因數:6{\displaystyle 6}

從兩項中約去因數:18t6+12t6=3+2t{\displaystyle {\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t}

用因數乘以新表達式:6(3+2t){\displaystyle 6(3+2t)}

檢查答案:(6?3)+(6?2t)=18+12t{\displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}

部分 2分解二項式來解方程

以Factor Binomials Step 7為標題的圖片

1使用因式分解來簡化方程,使之更容易求解。解含有二項式的方程,尤其是含有復雜二項式的方程時,可能看上去沒辦法找到所有項的公因數。例如,試著解5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}。對于這類方程,尤其是帶指數的方程,一種解法是先做因式分解。

練習題:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

記住,二項式必須只包含兩項。如果項數多于二,你就必須用到解多項式的相關知識。

以Factor Binomials Step 8為標題的圖片

2做加法或減法,讓方程式的一邊等于零。這種方法完全依賴于數學中最基本的事實之一:任何數乘以零都等于零。所以,如果方程式等于零,那么因式項之一必定等于零。首先,做加減法讓一邊等于零。

練習題:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

使等式等于零:5y?2y2+3y=?3y+3y{\displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}

8y?2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}

以Factor Binomials Step 9為標題的圖片

3像平時那樣,對方程式不為零的那一邊做因式分解。在這一步中,你可以當方程式的另一邊不存在。找到最大公因式,用它去除方程式,得到分解后的表達式。

練習題:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

使等式等于零:8y?2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}

因式分解:2y(4?y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}

以Factor Binomials Step 10為標題的圖片

4設括號內和括號外的因式等于零。練習題中,表達式可寫為2y乘以4 - y,結果等于零。由于任何數乘以零都等于零,這意味著2y或4-y等于0。生成兩個單獨的方程,求出使它們等于零的y值。

練習題:5y?2y2=?3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

使等式等于零:8y?2y2+3y=0{\displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}

因式分解:2y(4?y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}

設兩個因式等于0:

2y=0{\displaystyle 2y=0}

4?y=0{\displaystyle 4-y=0}

以Factor Binomials Step 11為標題的圖片

5解這兩個等于零的方程,得到最終答案。答案可能有一個或多個。記住,只要一個因式等于零就能讓方程成立,所以同一個方程式的解可能有幾個不同的y值。解練習題的最后步驟:

2y=0{\displaystyle 2y=0}

2y2=02{\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}}

y = 0

4?y=0{\displaystyle 4-y=0}

4?y+y=0+y{\displaystyle 4-y+y=0+y}

y = 4

以Factor Binomials Step 12為標題的圖片

6將答案代入到原方程式中,看是否正確。如果你得到的y值是正確的,那么它們應該能使方程成立。如下文所示,驗算非常簡單,將每個值代入到變量中即可。由于答案是y = 0和y = 4:

5(0)?2(0)2=?3(0){\displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}

0+0=0{\displaystyle 0+0=0}

0=0{\displaystyle 0=0} 所以,這個答案是正確的

5(4)?2(4)2=?3(4){\displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}

20?32=?12{\displaystyle 20-32=-12}

?12=?12{\displaystyle -12=-12} 所以,這個答案也是正確的。

部分 3處理更復雜的問題

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1記住,變量,甚至是帶指數的變量,都算作因式。記住,因式分解是找出能夠整除方程式的因式。表達式x4{\displaystyle x^{4}}x?x?x?x{\displaystyle x*x*x*x}的另一種寫法。這意味著如果其他項也含有x,那么你可以使用x來進行因式分解。你應該將變量視為普通的數字。例如:

由于兩項都包含t,所以2t+t2{\displaystyle 2t+t^{2}}可被因式分解,分解后的答案等于t(2+t){\displaystyle t(2+t)}。

你甚至可以一次提取多個變量。例如,在x2+x4{\displaystyle x^{2}+x^{4}}中,兩項都包含相同的x2{\displaystyle x^{2}}。你可以將之分解為x2(1+x2){\displaystyle x^{2}(1+x^{2})}。

以Factor Binomials Step 14為標題的圖片

2合并同類項,將未簡化的二項式轉化為二項式形式。以表達式6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}為例,它看上去有四項,但細看后你會發現,實際上只有兩項。你可以合并同類項,由于6和14都沒有變量,而2x和3x擁有相同的變量,所以它們都可以互相合并。之后的因式分解就很簡單了:

初始問題:6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}

重新排列各項:2x+3x+14+6{\displaystyle 2x+3x+14+6}

合并同類項:5x+20{\displaystyle 5x+20}

求最大公因數:5(x)+5(4){\displaystyle 5(x)+5(4)}

因式分解:5(x+4){\displaystyle 5(x+4)}

以Factor Binomials Step 15為標題的圖片

3識別特殊的“完全平方差”。完全平方數指的是平方根是一個整數的數字,例如9{\displaystyle 9}等于3?3{\displaystyle 3*3},x2{\displaystyle x^{2}}等于x?x{\displaystyle x*x},甚至144t2{\displaystyle 144t^{2}}也是完全平方數,因為它等于12t?12t{\displaystyle 12t*12t}。如果二項式是兩個完全平方數(式)的減法問題,如a2?b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}},那么你只需要將它們代入到以下公式即可:

完全平方差公式:a2?b2=(a+b)(a?b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

練習題:4x2?9{\displaystyle 4x^{2}-9}

求平方根

4x2=2x{\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x}

9=3{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}

將平方代入到公式中:4x2?9=(2x+3)(2x?3){\displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)}[1]

以Factor Binomials Step 16為標題的圖片

4學會分解“完全立方差公式”。和完全平方一樣,兩個立方項相減時,也有一個簡單的公式。例如,a3?b3{\displaystyle a^{3}-b^{3}}。和之前一樣,你只用求出各項的立方根,然后將它們代入到公式中即可:

完全立方差公式:a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2){\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}

練習題:8x3?27{\displaystyle 8x^{3}-27}

求立方根:

8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}

273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}

將立方代入到公式中:8x3?27=(2x?3)(4x2+6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)}[2]

以Factor Binomials Step 17為標題的圖片

5知道完美立方和也有一個公式。和完美平方差不同,你可以用一個簡單的公式,輕松地分解a3+b3{\displaystyle a^{3}+b^{3}}這樣的立方和表達式。它和立方差公式幾乎相同,只是加減號略有區別。這個公式寫出來和其他兩個公式一樣簡單,你需要認出題目中的兩個立方項,然后套用公式就可以了:

完全立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2){\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}

練習題:8x3?27{\displaystyle 8x^{3}-27}

求立方根:

8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}

273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}

將立方代入到公式中:8x3?27=(2x+3)(4x2?6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}[3]

小提示

并非所有二項式都有公因數(式)!有些二項式已經是最簡形式。

如果你不確定是否有公因數(式),可以先用更小的數(式)去除。例如,如果你不知道16是32和16的公因數,可以先用2除這兩個數。你會得到16和8,它們還可以被8整除。除完后你會得到2和1,它們是最小因數。顯然,32和16有一個大于8和2的公因數。

注意,x6這樣的6次方既是完全平方式,‘’又是’’完全立方式。因此,你可以對x6 - 64這樣的完全六次方二項式使用前文所述的兩種特殊公式,使用順序隨意。但是,你會發現,先用完全平方差公式會比較簡單,因為這樣你能更徹底地分解二項式。

警告

完全平方和二項式無法被因式分解。

參考

↑ //www.regentsprep.org/regents/math/algebra/av6/Lfactps.htm↑ //www.purplemath.com/modules/specfact2.htm↑ //www.purplemath.com/modules/specfact2.htm

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