体彩排列5走势图:怎么樣求等差數列的任意項 應該怎么做?

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在本文中:求等差數列的下一項求缺少的中間項求等差數列的第N項使用顯式公式求其他信息

等差數列是每一項與它前面一項的差等于一個常數的數列。例如,偶數列0,2,4,6,8{\displaystyle 0,2,4,6,8}…就是一個等差數列,因為數列中的數字和下一個數字的差總是等于2。[1]如果題目中的數列是等差數列,那么它可能會要你求出幾個已知數字的下一項。題目還可能要你填入等差數列中缺少的那一項。最后,你可能還需要在不寫出所有100項的情況下,求出第100項的值。無論題目是哪種類型,只需幾個簡單步驟,你就能算出答案。

1求等差數列的下一項

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 1為標題的圖片

1求得數列的公差。面對一組數字時,有時題目會告訴你它們是等差數列,而有時你必須自己認識到這一點。無論是哪種情況,第一步都是相同的。從幾個數字中選擇最開始的兩項。用第二項減去第一項。所得結果就是數列的公差。[2]

例如,假設有一組數字1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…。用4?1{\displaystyle 4-1},求得公差為3。

假設有一列各項不斷變小的數字,如25,21,17,13{\displaystyle 25,21,17,13}…?;故怯玫詼羆躒サ諞幌罾辭蟪齬?。這種情況下,21?25=?4{\displaystyle 21-25=-4}。負數結果說明從左到右看時,這組數字在逐漸變小。每次做題時,你都應該檢查公差的正負號,看是否與數字的變化趨勢相符。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 2為標題的圖片

2檢查公差是否一致。只計算前兩項的公差,不足以保證數列是等差數列。你需要確保整列數字的差值始終一致。[3]。將數列中另外兩個連續項相減,檢查它們的差值。如果結果與另外一到兩次的結果一致,那么你面對的就很可能是等差數列。

還是以數列1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…為例,選擇數列的第二項和第三項。用7?4{\displaystyle 7-4},差值仍然為3。保險起見,再選兩個連續項相減,13?10{\displaystyle 13-10},差值為3,還是與之前的結果相吻合。現在,你可以比較確定它是一組等差數列了。

有時,數列的前幾項看上去像等差數列,但之后卻不符合等差數列的特征。例如,數列1,2,3,6,9{\displaystyle 1,2,3,6,9}…。第一項和第二項之間的差是1,而第二項和第三項之間的差也是1。但是,第三項和第四項之間的差是3。由于數列各項之差并不相等,所以它不是等差數列。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 3為標題的圖片

3用公差加上最后的已知項。知道公差后,求等差數列的下一項就非常簡單了。只需用公差加上最后的已知項,就可以得到下一個數字。

例如,在示例1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…中,要算出下一個數字,你可以用公差3加上最后的已知項。13+3{\displaystyle 13+3}等于16,16就是下一個數字。只要愿意,你可以不斷加3,寫出數列后面的數字。例如,將數列后面的數字寫出來后,我們得到1,4,7,10,13,16,19,22,25{\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}…。你可以一直寫下去,直到滿意為止。

2求缺少的中間項

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 4為標題的圖片

1首先檢查是否是等差數列。某些情況下,題目會給出一組缺少中間項的數字。和之前一樣,首先你應該檢查數列是否是等差數列。選擇任意的連續兩項數字,計算它們之間的差值。比較結果與數列中另外兩個連續數字的差值。如果差值相等,那么你可以假設自己面對的是一個等差數列,然后繼續使用本文的等差數列方法。

例如,假設有一個數列0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…。先用4?0{\displaystyle 4-0},求得差值為4。比較另外兩個連續數字的差,如16?12{\displaystyle 16-12}。差值仍等于4。因此,你可以將之當做等差數列,繼續解題。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 5為標題的圖片

2用公差加上空格前的那一項。方法和求數列最后一項類似。找到數列中空格前的那一項。這是已知的“最后一個”數字。用公差加上該項,算出應該填入空格的數字。[4]

在當前示例中,0,4{\displaystyle 0,4},____,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…,空格前的數字是4,而此數列的公差也是4。所以,用4+4{\displaystyle 4+4},得到8,它應該就是空格中的數字。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 6為標題的圖片

3用空格后的數字減去公差。為了確保答案正確,可以從另一個方向來進行檢查。無論是正序還是倒序,等差數列應該都符合自身特點。如果從左到右需要逐項加4,那么反過來,從右到左就正好相反,需要逐項減4。

在當前示例中,0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…,空格后的數字是12。用該項減去公差,得到12?4=8{\displaystyle 12-4=8}。你應該將結果8填入空格中。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 7為標題的圖片

4比較結果。用左邊項加公差和用右邊項減公差算出來的兩個結果應該相等。如果相等,說明你已經求得缺少項的值。如果不相等,則說明你需要檢查自己的計算過程。題目中的數列可能并非等差數列。

在當前示例中,4+4{\displaystyle 4+4}12?4{\displaystyle 12-4}算得的結果都是8。因此,該等差數列的缺少項為8。完整的數列是0,4,8,12,16,20{\displaystyle 0,4,8,12,16,20}…。

3求等差數列的第N項

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 8為標題的圖片

1確定數列的第一項。并非所有序列都以數字0或數字1開始。查看題中的數列,找到第一項。它是計算的起點,可以使用變量a(1)代表。

面對等差數列問題時,經?;崾褂帽淞縜(1)來指代數列的第一項。當然,你可以選擇自己喜歡的任何變量,這不影響結果。

例如,已知數列3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…,第一項是3{\displaystyle 3},我們可以用a(1)來指代。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 9為標題的圖片

2設公差為d。用上文所述方法求出數列的公差。在當前示例中,公差等于8?3{\displaystyle 8-3},等于5。使用數列中的其他數字進行檢查,得到同樣的結果。我們用變量d來指代該公差。[5]

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 10為標題的圖片

3使用顯式公式。顯式公式是一個代數方程,使用它來求等差數列的任意項時,你無須寫出完整數列。等差數列的顯式公式為a(n)=a(1)+(n?1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}。

a(n)項可以讀作“a的第n項”,其中n代表數列中你想求出的項數,而a(n)是該項的實際數值。例如,如果題目要求你求等差數列的第100項,那么n等于100。注意,在本示例中,n等于100,但a(n)等于第100項的值,而不等于數字100本身。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 11為標題的圖片

4填入已知信息解題。使用數列的顯式公式,填入已知信息,求出需要的項。

例如,在本示例中,3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…,我們知道a(1)是第一項,等于3,而公差d等于5。假設題目要求你求出數列的第100項,則n=100,而(n-1)=99。填入數值后,完成顯式公式,得到a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}。簡化后的結果是498,這個數字就是該數列的第100項。

4使用顯式公式求其他信息

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 12為標題的圖片

1對顯式公式進行變形,求其他變量。使用顯式公式和基礎的代數知識,你可以算出等差數列的幾個其他數值。顯式公式的初始形式是a(n)=a(1)+(n?1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d},其目的是求an,也就是數列的第n項。但是,你可以對公式進行代數變形,來計算任何其他變量。

例如,假設數列的最后一個數字已知,需要你計算數列最開始的數字。你可以將公式變形,得到a(1)=(n?1)d?a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}。

如果你知道等差數列的第一個數字和最后一個數字,但需要算出該數列的項數,你可以將顯式公式變形來求出n。公式變形后可得n=a(n)?a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}。

如果為了將公式變形,你需要復習基礎的代數知識,可以參閱本網站代數計算或代數式化簡的相關文章。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 13為標題的圖片

2求數列的第一項。已知等差數列的第50項為300,且每項比之前一項大7,即“公差”等于7,求序列第一項的值。使用變形后的顯式公式來計算a1,求得問題的答案。

使用方程a(1)=(n?1)d?a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)},然后代入已知信息。由于已知第50項為300,所以n=50,n-1=49,且a(n)=300。題目還提供了公差d的值,d等于7。因此,公式變為a(1)=(49)(7)?300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}。得到343?300=43{\displaystyle 343-300=43}。數列的第一項是43,每一項比前一項大7。因此,數列可以寫作 43,50,57,64,71,78…293,300。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 14為標題的圖片

3求數列的項數。假設你只知道等差數列的第一項和最后一項,需要求數列的項數。使用變形后的公式n=a(n)?a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}。

假設已知等差數列的第一項是100,公差為13。題目還告知最后一項是2,856。要計算數列的項數,可以用到的信息有a1=100,d=13,以及a(n)=2856。將這些值代入公式,得到n=2856?10013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}。計算后,可得n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1},等于212+1,即213。所以該序列有213項。

該序列可以寫作100, 113, 126, 139… 2843, 2856。

警告

數列有多種不同類型。不要假設所有數列都是等差數列。每次一定要檢查至少兩對數字,最好是三對或四對,來比較各對的公差。

小提示

記住,d可以是正數,也可以是負數,取決于它是相加還是相減。

參考

↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html↑ //www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=algebra_arithseq.xml↑ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/common-difference↑ //virtualnerd.com/middle-math/number-algebraic-sense/sequences-patterns/missing-term-sequence-example↑ https://revisionmaths.com/advanced-level-maths-revision/pure-maths/algebra/series

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答: 試題分析:設 設等差數列 中的任意兩項,由已知得, , ,則 ,設 是數列 中的第 項,則有 ,即 , ,故 的所有可能取值為 ,其和為 .

證明數列an=4^(n-1)任意不同三項不成等差數列

答:(1)∵數列{an}的an=4n-1+n,n∈N*. ∴數列{an}的前n項和Sn= 4n−1 4−1 + n(n+1) 2 = 1 3 (4n−1)+ 1 2 (n2+n). (2)證明:對任意的n∈N*,Sn+1-4Sn= 4n+1−1 3 + (n+1)(n+2) 2 -4( 1 3 (4n−1)+ 1 2 (n2+n)). =&#...

證明:等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列sm,...

答:證: S(2m)-Sm=a(m+1)+a(m+2)+...+a(m+m) =a1+md+a2+md+...+am+md =(a1+a2+...+am)+m²d =Sm+m²d S(2m)-Sm=Sm+m²d-Sm=m²d,為定值 S[(k+1)m]-S(km) =a(km+1)+a(km+2)+...+a(km+m) =a1+kmd+a2+kmd+...+am+kmd =(a1+a2+...+am)...

高一數學 等比數列為什么至少有兩項 那等差數列呢 ...

答:等差數列和等比數列,都至少有兩項,因為等差與等比有公差與公比,雖然要至少兩項,但是實際上可以算出三項。而對于一般數列來說,必須有至少三項才能確定:an-1 an an+1。 你的采納是我繼續回答的動力,有什么疑問可以繼續問,歡迎采納。

已知數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,且...

答:(1)∵{bn}是等比數列,首項為4,公比為2,∴bn=4?2n-1=2n+1,∵數列{an}是等差數列,且對任意的n∈N*,都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n?2n+3,∴a1b1=24,∴a1=24b1=244=4,a1b1+a2b2=2?25,∴a2b2=2?25?24=48,∴a2=48b2=4823=6,∴d=a2-a1=6-4=2,...

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答:(1)證明:an=4+(n-1)?2=2n+2,對任意的m,n∈N*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,∵m+n+1∈N+,于是,令p=m+n+1,則有ap=2p+2∈{an}.∴該數列是“封閉數列”.(2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,∴2n-7=-8,n=-12?N+,所以...


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