双色求走势图:怎么樣求等差數列之和 應該怎么做?

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責任編輯:王嘉善
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在本文中:評估數列計算總和完成例題

等差數列是每一項與它的前一項的差等于一個常數的數列。如果要求等差數列之和,你可以將所有數字手動相加。但是,當數列包含大量數字時,就無法使用這種方法了。這時,你可以使用另一種方法,即用數列首項和末項的平均數乘以數列項數,從而快速算出任何等差數列之和。

部分 1評估數列

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 1為標題的圖片

1確定數列是等差數列。等差數列是一組有規律的數字,其中各數字的增量是一個常數。[1]本文所述方法僅適用于等差數列。

要確定數列是否是等差數列,你可以計算前面幾個數字之間的差值和最后幾個數字之間的差值。等差數列的差值應始終相等。

例如,數列10, 15, 20, 25, 30是一個等差數列,因為各項之間的差值等于常數(5)。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 2為標題的圖片

2確定數列的項數。每個數字構成一項。如果數列只包含列出的幾個數字,你可以數一數共有多少項。否則,在知道首項、末項,以及被稱為公差的各項之差的情況下,你可以使用公式來算出項數。我們可以使用變量n{\displaystyle n}來代表這個數字。

例如,如果你要計算數列10, 15, 20, 25, 30之和,則n=5{\displaystyle n=5},因為數列共有5項。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 3為標題的圖片

3確定數列的首項和末項。要計算等差數列之和,你必須知道這兩個數字。第一個數字常常為1,但也并不一定。我們可以設變量a1{\displaystyle a_{1}}等于數列首項,變量an{\displaystyle a_{n}}等于數列末項。

例如,在數列10, 15, 20, 25, 30中,a1=10{\displaystyle a_{1}=10},而an=30{\displaystyle a_{n}=30}。

部分 2計算總和

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 4為標題的圖片

1列出計算等差數列之和的公式。公式為Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})},其中Sn{\displaystyle S_{n}}等于數列之和。[2]

注意,此公式表明等差數列之和等于首項和末項的平均數乘以項數。[3]

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 5為標題的圖片

2將變量n{\displaystyle n}、a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}代入公式中。確保代入步驟正確。

例如,如果數列有5項,首項為10,末項為30,則代入后公式變成:Sn=5(10+302){\displaystyle S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})}。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 6為標題的圖片

3計算首項和末項的平均數。將兩個數字相加,然后除以2。

例如:

Sn=5(402){\displaystyle S_{n}=5({\frac {40}{2}})}

Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 7為標題的圖片

4用平均數乘以數列的項數。這樣就算出了等差數列之和。

例如:

Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}

Sn=100{\displaystyle S_{n}=100}

因此,數列10, 15, 20, 25, 30之和等于100。

部分 3完成例題

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 8為標題的圖片

1計算1到500之間所有數字之和。考慮所有的連續整數。

確定數列的項數n{\displaystyle n}。由于需要考慮500以內的所有連續整數,因此n=500{\displaystyle n=500}。

確定數列的首項a1{\displaystyle a_{1}}和末項an{\displaystyle a_{n}}。由于數列是從1到500,所以a1=1{\displaystyle a_{1}=1},而an=500{\displaystyle a_{n}=500}。

計算a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}的平均數:1+5002=250.5{\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250.5}。

用平均數乘以n{\displaystyle n}250.5×500=125,250{\displaystyle 250.5\times 500=125,250}。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 9為標題的圖片

2求下述等差數列之和。數列的首項為3。數列的末項為24。公差為7。

確定數列的項數n{\displaystyle n}。由于數列的第一項為3,最后一項為24,而每一項比前一項大7,所以這個數列是3, 10, 17, 24。以上推論是根據公差的定義得出,公差即數列中各項與前一項之差。[4]這意味著n=4{\displaystyle n=4}

確定數列的首項a1{\displaystyle a_{1}}和末項an{\displaystyle a_{n}}。由于數列是從3到24,所以a1=3{\displaystyle a_{1}=3},而an=24{\displaystyle a_{n}=24}。

計算a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}的平均數:3+242=13.5{\displaystyle {\frac {3+24}{2}}=13.5}。

用平均數乘以n{\displaystyle n}13.5×4=54{\displaystyle 13.5\times 4=54}。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 10為標題的圖片

3解以下問題。陳靜在一年的第一周存了5元錢。在這一年中剩下的時間里,她每周會比前一周多存5元錢。年末時,陳靜共存了多少錢?

確定數列的項數n{\displaystyle n}。由于陳靜存了1年,而1年有52周,所以n=52{\displaystyle n=52}。

確定數列的首項a1{\displaystyle a_{1}}和末項an{\displaystyle a_{n}}。她存的第一筆錢金額為5元,所以a1=5{\displaystyle a_{1}=5}。她在這一年最后一周存的金額可以計算得出,5×52=260{\displaystyle 5\times 52=260}。因此,an=260{\displaystyle a_{n}=260}。

計算a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}的平均數:5+2602=132.5{\displaystyle {\frac {5+260}{2}}=132.5}。

用平均數乘以n{\displaystyle n}135.5×52=7,046{\displaystyle 135.5\times 52=7,046}。所以,她在年末時共存了7,046元。

參考

↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html↑ https://www.khanacademy.org/math/calculus-home/series-calc/series-calculus/v/formula-for-arithmetic-series↑ //www.purplemath.com/modules/series4.htm↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html

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